慣性モーメント

球

円板（団扇）と同様に考えます．ただし，円板の場合は細い棒だったのですが，球の場合は円板となります．

各スライスレイヤーでで円板の慣性モーメントを求め，回転軸方向に円板の半径を変化させながら積分していきます．

式で表すと，

\( \Large \displaystyle J_{sphere} = \int_{-R}^R dz \ \int_{0}^\sqrt{R^2 - z^2} r^2 \cdot \rho \cdot 2 \pi r \ dr \)

となります．最初の積分は，円板の場合と同様に（積分範囲が異なりますが），

\( \Large \displaystyle \int_{0}^\sqrt{R^2 - z^2} r^2 \cdot \rho \cdot 2 \pi r \ dr = 2 \pi \rho \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^\sqrt{R^2 - z^2} = 2 \pi \rho \frac{(R^2 - z^2)^2}{4}
= \frac{ \pi \rho}{2} (R^2 - z^2)^2 \)

となります．次の積分に当てはめると，

\( \Large \displaystyle J_{sphere} = \int_{-R}^R \frac{ \pi \rho}{2} (R^2 - z^2)^2 dz = 2 \int_{0}^R \frac{ \pi \rho}{2} (R^2 - z^2)^2 dz = \pi \rho \int_{0}^R (R^4-2R^2z^2+z^4) dz\)

\( \Large \displaystyle = \pi \rho \left[ R^4z-2R^2 \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} \right] dz \)

\( \Large \displaystyle = \pi \rho \left( \frac{15}{15} R^5 -\frac{10}{15} R^5 + \frac{3}{15} R^5 \right)\)

\( \Large \displaystyle = \frac{8}{15} \pi \rho R^5 \)

球の質量は体積密度ρを使って，

\( \Large \displaystyle M = \frac{4}{3} \pi \rho R^3 \)

となるので，

\( \Large \displaystyle J_{sphere} = \frac{8}{15} \pi \rho R^5 = \frac{8}{15} \pi R^5 \cdot \frac{3}{4} \frac{M}{ \pi R^3} = \boldsymbol{\frac{2}{5} MR^2} \)

となります．

次ページは，平行軸の定理，を検討していきます．